Question

在数列{an}中 a1=1当n>=2时，其前n项sn满足2SnSn-1=Sn-1–Sn

求数列{an}的通项公式

若bn=Sn/2n+1求bn的前n项和Tn的表达式

Answer 1

2SnS(n-1)=S(n-1)–Sn
1/Sn -1/S(n-1) =2
1/Sn -1/S1= 2(n-1)
1/Sn = 2n-1
Sn = 1/(2n-1) (1)
S(n-1) = 1/(2n-3) (2)
(1) -(2)
an = 1/(2n-1) - 1/(2n-3)
bn = Sn/(2n+1)
= 1/[(2n-1)(2n+1)]
= (1/2)[1/(2n-1) -1/(2n+1)]
Tn =b1+b2+..+bn
= (1/2)[ 1 - 1/(2n+1) ]

Answer 2

解：n≥2时a[n]=s[n]-s[n-1],将它代入an= 2Sn^2/2Sn-1
并化简，得1 /s[n]=1/s[n-1]+2 （n≥2）
上式表明 {1/s[n]}是以1/s[1]=1/a[1]=1 为首项，2为公差的等差数列
从而 1/s[n]=2n-1,s[n]=1/(2n-1) （n≥1）故n=1时，a[1]=1;
n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1]=1/(2n-1)-1/(2n-3)
=-2/[(2n-1)(2n-3)]
fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn
　　bn=npn
　　设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)
　　当p=0时，Tn=0
　　p=1时，
　　Tn=1+2+…+n=-n(n+1)
　　pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)
　　(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1
　　∴Tn=(p+p2+…+pn-npn+1)/(1-p)，(p≠0， p≠1