Question

已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=4/3x的图像交于点A，且与x轴交于点B.

过点A作AC⊥y轴交y轴于点C，过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②如果以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，试求t的值.

Answer 1

解：解方程组y=-x+7①y=4/3x②得x=3，y=4即A（3,4）

把y=0代入y=-x+7得y=7，即B(7,0)

Answer 2

解：
（1）
解得A(3，4)，B(7，0)，C(0，4)，直线l的解析式为x=7
当0≤t≤4时，P(0，t)，R(7-t，0)，Q(7-t，t)
直线PR解析式为y=[t/(t-7)]x+t
作AH⊥x轴，垂足H，AH交PR于M，作PN⊥AH，垂足N
则M(3，(t^2-4t)/(t-7))，N(3，t)，H(3，0)
∴AM=4-(t^2-4t)/(t-7)=(-t^2+8t-28)/(t-7)
PN=3，RH=4-t
故S△APR=S△APM+S△ARM=(1/2)AM*PN+(1/2)AM*RH=(1/2)[(-t^2+8t-28)/(t-7)]*[3+4-t]=0.5t^2-4t+14
令其等于8解得t=2或t=6，后者舍去
当4≤t≤7时，P(t-4，4)，R(7-t，0)，Q(7-t，(28-4t)/3)，作RH'⊥AC，垂足H'
则H'(7-t，4)
∴AP=7-t，RH=4
∴S△APR=(1/2)AP*RH=14-2t，令其等于8解得t=3舍去
综上所述，t=2时S△APR面积为8
（2）当0≤t≤4时，P(0，t)，R(7-t，0)，Q(7-t，t)，可见PQ//x轴
此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ
则Q的横坐标应为(3-0)x2=6，即7-t=6得t=1
当4≤t≤7时，P(t-4，4)，R(7-t，0)，Q(7-t，(28-4t)/3)，
AP=7-t，AQ=(5t-20)/3，PQ=√[(2t-11)^2 +(4-(28-4t)/3)^2]=(√(52t^2 -524t+1345))/3
若AP=AQ则t=41/8
若AP=PQ则解得t=226/43或t=4（t=4时Q与A重合，故此情况舍去）
若AQ=PQ则解得t=5或t=7（t=7时A与P重合，故此情况舍去）
综上所述，满足要求的t为：
t=41/8
或t=226/43
或t=5

Answer 3

解：（1）解得A(3，4)，B(7，0)，C(0，4)，直线l的解析式为x=7当0≤t≤4时，P(0，t)，R(7-t，0)，Q(7-t，t)直线PR解析式为y=[t/(t-7)]x+t作AH⊥x轴，垂足H，AH交PR于M，作PN⊥AH，垂足N则M(3，(t^2-4t)/(t-7))，N(3，t)，H(3，0)∴AM=4-(t^2-4t)/(t-7)=(-t^2+8t-28)/(t-7)PN=3，RH=4-t故S△APR=S△APM+S△ARM=(1/2)AM*PN+(1/2)AM*RH=(1/2)[(-t^2+8t-28)/(t-7)]*[3+4-t]=0.5t^2-4t+14令其等于8解得t=2或t=6，后者舍去当4≤t≤7时，P(t-4，4)，R(7-t，0)，Q(7-t，(28-4t)/3)，作RH'⊥AC，垂足H'则H'(7-t，4)∴AP=7-t，RH=4∴S△APR=(1/2)AP*RH=14-2t，令其等于8解得t=3舍去综上所述，t=2时S△APR面积为8（2）当0≤t≤4时，P(0，t)，R(7-t，0)，Q(7-t，t)，可见PQ//x轴此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ则Q的横坐标应为(3-0)x2=6，即7-t=6得t=1当4≤t≤7时，P(t-4，4)，R(7-t，0)，Q(7-t，(28-4t)/3)，AP=7-t，AQ=(5t-20)/3，PQ=√[(2t-11)^2 +(4-(28-4t)/3)^2]=(√(52t^2 -524t+1345))/3若AP=AQ则t=41/8若AP=PQ则解得t=226/43或t=4（t=4时Q与A重合，故此情况舍去）若AQ=PQ则解得t=5或t=7（t=7时A与P重合，故此情况舍去）综上所述，满足要求的t为：t=41/8或t=226/43或t=5

Answer 4

解：∵一次函数y=4x-4的图像与x轴交于点a，
即y=0，得4x-4=0,
解得：x=1
∴a点坐标是（1,　0）
又∵与正比例函数的图像相交于点b
由y=4x-4，y=2x，解得x=2，y=4
∴b点坐标是：（2,　4）
②s△aob=(1/2)×4×1=2