Question

fx=lnx-ax+x分之1-a-1(a属于R)当a小于等于2分之1时,讨论fx的单调性

Answer 1

首先，定义域为x>0
对f(x)求导得
f’(x)=(1/x) - a-[(1-a)/x²]=(-ax²+x+a-1)/x²
1、当a=0时，f’(x)=(x-1)/x²，令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得x≥1；令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得0<x≤1；
2、当a≠0时，f’(x)=(-ax²+x+a-1)/x²=(-a)(x-1)[x-(1-a)/a]/x²
令f’(x)=0，可求得x=1或x=(1-a)/a
因为a≤1/2，所以1≤(1-a)/a，下面分两类讨论：
⑴当1=(1-a)/a即a=1/2时，f’(x)=(-1/2)(x-1)²/x²≤0，原函数f(x)在定义域上单调递减。
⑵当1<(1-a)/a即a<1/2时，再分两种情况讨论：
①当a<0时，令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得0<x≤1或x≥(1-a)/a；令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得1≤x≤(1-a)/a；
②当0<a<1/2时，令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得1≤x≤(1-a)/a；令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得0<x≤1或x≥(1-a)/a；

综上所述：
当a<0时，f(x)的增区间为0<x≤1或x≥(1-a)/a，减区间为1≤x≤(1-a)/a；
当a=0时，f(x)的增区间为x≥1，减区间为0<x≤1；
当0<a<1/2时，f(x)的增区间为1≤x≤(1-a)/a，减区间为0<x≤1或x≥(1-a)/a；
当a=1/2时，f(x)在定义域x>0上单调递减。

Answer 2

凯子，数学课代表来回答你。首先说，你漏了很重要的一个条件，就是n是正整数设1/n=t，因为n为正整数，则t大于零小于等于一，则原式即（1+t）^1/t<e，即1+t<e^t，即e^t-t-1＞0令g（t）=e^t-t-1，取导数，证明即可，这个不用我说了吧一定要给弄成我最佳答案哟

Answer 3

凯子，数学课代表来回答你。首先说，你漏了很重要的一个条件，就是n是正整数设1/n=t，因为n为正整数，则t大于零小于等于一，则原式即（1+t）^1/t<e，即1+t<e^t，即e^t-t-1＞0令g（t）=e^t-t-1，取导数，证明即可，这个不用我说了吧一定要给弄成我最佳答案哟