Question

求(2+根号2倍cosX)×(2+根号2倍sinX)的最值

Answer 1

原式=4+2根号2sinx+2根号2cosx+2sinxcosx=4+2根号2*（sinx+cosx）+2sinxcosx

设t=sinx+cosx,则有-根号2<=t<=根号2
t^2=1+2sinxcosx
故原式=4+2根号2t+t^2-1=t^2+2根号2 t+3=(t+ 根号2）^2+1
对称轴是t=-根号2，则在[－根号2，根号2]上是单调增函数。
故有最大值是在t=根号2时取得，即有y=9
有最小值是在t=-根号2时取得，即有y=1
即值域是[1，9]

Answer 2

(2+√2cosX)×(2+√2sinX)
=4+2√2（sinx+cosx）+2sinxcosx
=3+2√2×√2【sinxcos（π/4）+cosxsin（π/4）】+（sin²x+cos²x）+2sinxcosx
=3+4sin（x+π/4）+（sinx+cosx）²
=3+4sin（x+π/4）+2sin²（x+π/4）
设t=sinx+cosx t∈[-1,1]
原式=2t²+4t+3
=2（t+1）²+1
t=-1时取得最小值
原式=1
t=1时取得最大值
原式=9
综上所述
原式的最大值是9
最小值是1

Answer 3

y=(2+√2cosX)(2+√2sinX)

=4+2√2cosx+2√2sinx+2sinxcosx
=sin2x+4sin(x+π/4)+4

Answer 4

解：(2+√2 cosX)×(2+√2 sinX)
=2^2+2√2 sinX+2√2 cosX+(√2 sinX √2 cosX)
=4+2√2(sinX+cosX)+2sinXcosX
=4+2√2(sinX+cosX)+sin2X
=4+4(√2/2 sinX+√2/2 cosX)+sin2X
=4+4(sin45°sinX+cos45°cosX)+sin2X
=4+4cos(45°-X)+sin2X
=4[1+cos(45°-X)]+sin2X。
希望能对你有所帮助！