Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3)

Answer 1

（1）已知C，D的坐标，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的长即菱形的边长．菱形的面积就是4个Rt△COD的面积．BE的长可用菱形的面积和菱形的边长来求得．
（2）①求△APQ的面积关键是求出底边AP上的高，过Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根据相似三角形△AQG和△ABE来求出QG的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于S，t的函数关系式．然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值，以及对应的t的值．
②若要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，那么△APQ需满足的条件为△APQ为等腰三角形．因此可分两种情况进行讨论：
第一种情况：当Q在CB上时（图2）；
由于AP=4＜BE，而BE是AD，BC间的最短的线段，因此只有一种情况即AQ=PQ，可仿照二的方法，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，可通过相似三角形△AMF∽△AOD∽△CQ1F，求出FM的长；而Q1M=BE，因此可求出Q1F的长，在直角三角形CQ1F中，可根据∠ACB的正切值求出CQ1的长，然后根据t=4即可求出k的值．
第二种情况：当Q在AB上时；
一，AP=AQ（图3），此时P，Q2关于x轴对称，已知了AP=t=4，因此Q运动的路程为CB+AB-AP=6，根据t=4即可求出k的值．
二，AP=PQ（图4），如果过P作PM⊥AB于B，那么△ANP∽△AEB，可根据相似得出的比例线段求出AN的长，也就能求出AQ3的长，然后根据一的方法求出k的值．

解答：解：（1）菱形ABCD的边长是5，面积是24，高BE的长是
24
5
；

（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t．
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE，∴
QG
BE
=
QA
BA
，
∴QG=
48
5
-
48t
25
，
∴S=
1
2
AP•QG=-
24
25
t2+
24
5
t
（
5
2
≤t＜5）．
∵S=-
24
25
（t-
5
2
）2+6（
5
2
≤t＜5）．
∴当t=
5
2
时，S最大值为6．

②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可．
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4．
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q1，使Q1A=Q1P．
如图2，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，则AM=
1
2
AP=2．
由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得
FM
AM
=
Q1F
CQ1
=
OD
AO
=
3
4
，
∴FM=
3
2
，
∴Q1F=MQ1-FM=
33
10
．
∴CQ1=
4
3
Q1F=
22
5
．则
1×t
k•t
=
AP
CQ1
，∴k=
CQ1
AP
=
11
10
．

第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q2，Q3，
分别使AP=AQ2，PA=PQ3．
①若AP=AQ2，如图3，CB+BQ2=10-4=6．
则
1×t
k•t
=
AP
CB+BQ2
，
∴k=
CB+BQ2
AP
=
3
2
．

②若PA=PQ3，如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得
AN
AE
=
AP
AB
．
∵AE=
AB2-BE2
=
7
5
，
∴AN=
28
25
．
∴AQ3=2AN=
56
25
，
∴BC+BQ3=10-
56
25
=
194
25

则
1×t
k•t
=
AP
CB+BQ3
．
∴k=
CB+BQ3
AP
=
97
50
．
综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为
11
10
或
3
2
或
97
50
．

点评：本题主要考查了菱形的性质，图形的翻折变换，相似三角形的性质以及二次函数等知识点，要注意（3）中，要跟Q点位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．

Answer 2

（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD=OC2+OD2=5，
∴S菱形ABCD=4S△COD=4×12×4×3=24，
又∵S菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h=245；

（2）依题意，得AP=x，DQ=5-2x，则S梯形APQD=12（x+5-2x）×245=125（5-x），
当S梯形APQD=13S菱形ABCD时，125（5-x）=8，解得x=53，
当S梯形APQD=23S菱形ABCD时，125（5-x）=16，解得x=-53（舍去）；

（3）存在．
当点Q在CD上时，如图2，依题意，得AP=x，CQ=2x，
∴y=12（x+2x）×245=365x（0≤x≤52），
当x=52时，y有最大值，最大值为365×52=18
此时P点在线段AB的中点，Q点与D点重合；
当点Q在AD上时，如图3，
y=12（x+10-2x）×245=24-125x（52＜x＜5），
y无最大值．

Answer 3

是要求A,B的坐标吗？根据菱形的特点，对边平行且四边相等的定理可得A,B的坐标分别为（-4，0）（0，-3）

Answer 4

没有图呢？题目也不完整……