Question

已知函数fx=lnx–a/x

讨论函数fx的单调性
设gx=-lnx,若fx>=gx在(0，正无穷)恒成立，求a的范围
过程详细，好的多给分

Answer 1

1
f(x)=lnx-a/x
f'(x)=1/x+a/x²=(ax+1)/x²
当a≥0时，f'(x)>0恒成立
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数
当a<0时，
由f'(x)<0即ax+1<0 解得x>-1/a
∴f(x)递减区间为(-1/a,+∞)
由f'(x)>0解得0<x<-1/a
∴f(x)递增区间为(0,-1/a)
2
gx=-lnx,
若fx>=gx在(0，正无穷)恒成立
即lnx-a/x≥-lnx恒成立
即a/x≤2lnx,a≤2xlnx恒成立
设h(x)=2xlnx,则需a≤h(x)min

h'(x)=2lnx+2=2(lnx+1)
令h'(x)=0解得x=1/e
∴0<x<1/e,h'(x)<0,h(x)递减
x>1/e,h'(x)>0,h(x)递增
∴h(x)min=h(1/e)=2/e*(-1)=-2/e
∴a≤-2/e

Answer 2

数理答疑团为您解答，希望对你有所帮助。
令x1＞x2＞0，
则：fx1 - fx2
=lnx1-lnx2+a/x2–a/x1
=ln(x1/x2)+a(x1-x2)/(x1x2)
x1/x2＞1，ln(x1/x2)＞0
a＞0时，a(x1-x2)/(x1x2)＞0，故：fx1 - fx2＞0，fx=lnx–a/x为增函数；
a=0时，a(x1-x2)/(x1x2)=0，故：fx1 - fx2＞0，fx=lnx–a/x为增函数；
a＜0时，a(x1-x2)/(x1x2)＜0，f(x)递减区间为(-1/a,+∞)，f(x)递增区间为(0,-1/a)

设gx=-lnx,若fx>=gx在(0，正无穷)恒成立，
则fx - gx≥0，lnx–a/x-（-lnx）≥0，2lnx–a/x≥0， a≤2xlnx，故：a≤ -2/e

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Answer 3

f'(x)=1/x+a/x²=(x+a)/x²
因为x>0
所以当a>=0 时, f'(x)>0, f(x)单调递增
当 a<0时
当 x>=-a, f'(x)>0, f(x)单调递增
当 0<x<=-a, f'(x)<0, f(x)单调递减

f(x)>=g(x), lnx-a/x>=-lnx, 2lnx-a/x>=0 ....(1)
因为 lnx 为单调递增函数, a/x 在a>0时是单调递减函数
x->+0, a/x->正无穷, 而 lnx ->负无穷, (1)显然不能成立
当a=0时,lnx>=0, x>=1, 与题设不符
所以 a<0
(1)成为:xlnx-a/2>=0
limxlnx=0
所以 a<0

Answer 4

(1)f(x)=(lnx+a)/x
f'(x)=(1-lnx-a)/x²=-[lnx-(1-a)]/x²
令f'(x)=0
解得x=e^(1-a)
由f'(x)>0即lnx-(1-a)<0,lnx<1-a
解得0<x<e^(1-a)
由f'(x)<0解得x>e^(1-a)
∴f(x)在(0,e^(1-a))上为增函数
在(e^(1-a),+∞)上为减函数
（2）设F(x)=f(x)-g(x)=(lnx+a)/x +lnx
F'(x)=(1-lnx-a)/x²+1/x=(1+x-a-lnx)/x²
在(0,+∞)上单调性
若1+x-a-lnx ≥0则F(x)最小值满足F(x)>0即可 解出a
若 1+x-a-lnx<0,考虑F(x)最小值满足F(x)>0即可 解出a

Answer 5

f(x)–g(x)=2lnx–a/x≥0
a≤2xlnx
令F(x)=2xlnx 则有F'(x)=2lnx 2
对于F'(x),在(0， ∞)有F'(1/e)=0，在(0，1/e)内F'(x)<0，在(1/e， ∞)内F'(x)>0
所以，x=1/e是F(x)的最小值点
F(1/e)=-2/e≥a
即a≤-2/e