Question

已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相

已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。（1）若圆M于y轴相切，求椭圆的离心率（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且三角形ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程。（过程详细些）

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Answer 1

这题不难
（1）设椭圆左焦点为F1(-c,0)，右焦点为F2(c,0)。（不用原题的F了）连接F1M和F2M
由“圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2”得MF2⊥x轴
由“圆M与y轴相切”易得M(c,c)
因为F1F2=2c,MF2=c
勾股得Mf1=√5c
所以2a=MF1+MF2=(√5+1)c
所以离心率e=c/a=√5-1
(2)因为三角形ABM是边长为2的正三角形，过定点M的三角形的高=√3
即c=√3
所以F1(-√3,0),F2(√3,0)
MA=MB=MF2=圆的半径=2
所以M(√3,2)
所以2a=MF1+MF2=6（距离公式）
所以b方=a方-c方=6
所以椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1