Question

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对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）、我们把|x1+x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的“直角距离”、记作d（P1，P2）。
（1）在直角坐标系xOy中、已知点A（2,1）、y轴上的点B满足d（A，B）=4、求点B的坐标。
（2）动点P（x，y）满足d（O，P）=3、请写出x与y之间满足的关系式、并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P组成的图形。
（3）设P0（x0，y0）是一定点、Q（x，y）是直线y=kx+b上的动点、我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=kx+b的直角距离、试求点C（3,2）到直线y=x+4的直角距离

Answer 1

解：（1）由题意，得|x|+|y|=1
所有符合条件的点P组成的图形如图所示
（2）∵d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1
又∵x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3．
∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3

或者

(1)d(O,P)=|x-0|+|y-0|=1，所以xy满足的关系式为：|x|+|y|=1
(2)d(M,N)=|x-2|+|(x+2)-1|=|x-2|+|x-1|
当x≤1时，d(M,N)=2-x+1-x=3-2x,此区间上面，d(M,N)单调递减，d(M,N)的最小值为1；
当1<x<2时，d(M,N)=2-x+x-1=1；
当x≥2时，d(M,N)=x-1+x-2=2x-3,此区间上面，d(M,N)单调递增，d(M,N)的最小值为1。
综上，d(M,N)的最小值为1。

Answer 2

应该是|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的“直角距离”吧？
1）令B(0,b)
|2-0|+|1-b|=4
b=-1,b=3
B(0,-1),B(0,3)
2) |x|+|y|=3
±x±y=3
3) 令D(a,a+4)是直线y=x+4的一点
|a-3|+|a+4-2|=|a-3|+|a+2|
当a≥3时,原式=2a-1≥5
当-2≤a<3时,原式=5
当a<-2时,原式=1-2a≥5

|a-3|+|a+4-2|≥5

因此，点C（3,2）到直线y=x+4的直角距离为5