Question

若a>0,b>0,则√[(a²+b²)/2],(a+b)/2,√ab,2ab/(a+b)的大小关系

Answer 1

∵a>0,b>0,√[(a²+b²)/2],(a+b)/2,√ab,2ab/(a+b)都大于0
∴每个式子都平方再乘以4得：
2a²+2b²,(a+b)²,4ab,16a²b²/(a+b)²

(2a²+2b²)-(a+b)²=(a-b)²≥0

(a+b)²-4ab=(a-b)²≥0

√ab/[2ab/(a+b)]=(a+b)/[2√(ab)]=[(√a-√b)²+2√(ab)]/[2√(ab)]≥1

∴2a²+2b²≥(a+b)²≥4ab≥16a²b²/(a+b)²
√[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)

Answer 2

充分利用和的平方公式，来回变化即容易导出结果。如（a+b）/2，如果平方再开方，可以表达成（a^2+b^2+2ab）开方除以2 ，比第一个式子多了2ab，因为2ab大于零，第二个大于第一个。余类似方法去做。