Question

已知fx是定义在R上的偶函数，对任意x€R都有f(x+6)=f(x)+2f(3)且f2013

已知fx是定义在R上的偶函数，对任意x€R都有f(x+6)=f(x)+2f(3)则f(2013)等于

Answer 1

令x=-3代入到f(x+6)=f(x)+2f(3),中得到
f（3）=f（-3）+2f（3）
而f（x）是偶函数 所以f（3）=f（-3）
所以得到f（3）=3f（3）
f（3）=0
所以f（x+6）=f（x）
所以f（2013）=f（335*6+3）=f（3）=0

Answer 2

解：令x=-3所以有f(3)=f(-3)+2f(3)解得f(3)=0，故f(x+6)=f(x)，所以f(x)是以6为周期的周期函数，
f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=0