Question

设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1），其中a＞等于－1，求f（x）的单调区间

Answer 1

解:
f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)
定义域
x∈(-1,正无穷)
f'(x)=a-(a+1)/(x+1)
令f'(x)>0
a>(a+1)/(x+1)
(1-ax)/(x+1)<0
①所以当-1<a<0
所以x∈(-1/a,-1)不符合定义域
f'(x)<0
x∈(-1,正无穷)时f(x)递减
②a=0时
f(x)=-ln(x+1)
f'(x)=-1/(x+1)
令f'(x)>0
x<-1 不符合定义域
f'(x)<0
x>-1
所以f(x)递减
③a>0时
f'(x)=a-(a+1)/(x+1)
令f'(x)>0
(ax-1)/(x+1)>0
x∈(负无穷,-1)∪(1/a,正无穷)
所以(1/a,正无穷)是f(x)增区间
(-1,1/a)是f(x)减区间

Answer 2

对a的值进行分类讨论

（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=1/a ．
当x∈(-1，1/a)时，f′（x）＜0，函数f（x）在(-1，1/a)上单调递减．
当x∈(1/a，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在(1/a，+∞)上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在(-1，1/a)上单调递减，函数f（x）在(1/a，+∞)上单调递增．