Question

bn}是首项为1，公差4/3的等差数列，且bn=（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）， 1。求证{an}为等差数列

2。c1=a1，c2=a2+a3，c3=a4+a5+a6……求{cn}的通项公式

Answer 1

1.
bn=1+(n-1)(4/3)=(4n-1)/3
n=1时，b1=a1/1
a1=b1=1
n≥2时，
bn=(a1+2a2+...+nan)/(1+2+...+n)=(a1+2a2+...+nan)/[n(n+1)/2]
[n(n+1)/2]bn=a1+2a2+...+nan (1)
[n(n-1)/2]b(n-1)=a1+2a2+...+(n-1)a(n-1) (2)
(1)-(2)
[n(n+1)/2]bn -[n(n-1)/2]b(n-1)=nan
an=[(n+1)/2]bn -[(n-1)/2]b(n-1)
=[(n+1)/2][(4n-1)/3]-[(n-1)/2][(4n-5)/3]
=2n-1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足通项公式。
a(n+1)-an=2(n+1)-1-2n+1=2，为定值。
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
2.
cn=a[n(n-1)/2 +1]+a[n(n-1)/2 +2]+...+[n(n-1)/2 +n]

=na[n(n-1)/2] +(1×2+2×2+...+n×2)
=n×[2n(n-1)/2 -1]+2(1+2+...+n)
=n³
数列{cn}的通项公式为cn=n³。