Question

已知抛物线C:y2=2px(p>0) 过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于AB两点，若AF=3FB,求k

我是高中生，可以用高中知识么？谢谢了

Answer 1

由抛物线性质，AF=Xa+(p/2)，FB=Xb+(p/2)；
∴ Xa+(p/2)=3Xb+(3p/2)，∴ Xa=3Xb+p……①；
通过F的直线方程设为 y=k(x -p/2)，显然有 Ya=-3Yb，即 k(Xa -p/2)=-3k(Xb -p/2)……②；
由①、②联解得：Xa=p；
带入抛物线方程：Ya²=2pXa，∴ Ya=√2p；
带入直线方程或有F、A计算斜率 k=Ya/(Xa -p/2)=√2p/(p -p/2)=2√2；

Answer 2

设直线AB：y=k(x-p/2), y2=2px,可求得 AB=2P（1+1/K*K）3/4AB=xA+P/2, 1/4AB=xB+P/2,
XA-XB=1/2AB=（根号下（1+K*K））AB 可求得K=+-根号3

Answer 3

设A(a,b)、B(m,n) 易知F(p/2，0)则直线为:y=kx-pk/2 联立方程消y得:(kx-pk/2)^2=2px即(kx)^2-p(k^2+2)x+(pk/2)^2=0即a+m=x1+x2=p(k^2+2)/k^2 又AF=3BF得:a-p/2=3(p/2-m)即a+3m=2p 可解出m=p-p(k^2+2)/(k^2×2) a=-p-3p(k^2+2)/(k^2×2)则将A、B代入y^2=2px解出b、n 则k=(n-b)/(m-n) 此为关于k与p的式子，即可解出p

Answer 4

不好意思这个不是高一的吧…？这个就不会了…高一的尽管问！