Question

(高等代数)求个保长度映射但不是线性映射的例子？

有没有映射是保长度而不是线性的？

Answer 1

既然是高等代数中的问题, 那么问题严格表述大概是这样的:
V是一个实(或复)内积空间, 其中两点的距离定义为d(x,y) = ||x-y|| = √(x-y,x-y).
问是否存在不是仿射变换的映射f: V→V, 满足d(f(x),f(y)) = d(x,y)对任意x, y∈V.

如果在复数域上讨论, 那么有明显的例子: 复共轭映射, 即将一个向量映为其复共轭的映射.
因为对于复数数乘, 这个映射是共轭线性而不是线性的.

如果是在实数域上讨论, 那么答案是不存在, 证明如下:
首先通过复合适当的平移, 不妨设f(0) = 0. 只要证明f是线性变换.

对任意x∈V-{0}与λ > 0, 设y = λx.
有||f(x)|| = d(f(x),0) = d(f(x),f(0)) = d(x,0) = ||x|| > 0.
同理||f(y)|| = d(y,0) = λd(x,0) = λ·||x||.
而||f(y)-f(x)|| = d(f(y),f(x)) = d(y,x) = ||y-x|| = |λ-1|·||x||.
于是(||f(y)||-||f(x)||)² = ||f(y)-f(x)||², 展开得||f(x)||·||f(y)|| = (f(x),f(y)).
由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件, 存在t, 使f(y) = t·f(x) (f(x) ≠ 0).
代回得|t| = λ, |t-1| = |λ-1|, 解得t = λ. 即有f(λx) = λf(x), 对任意λ > 0 (x = 0时显然).

对任意x,y∈V, x ≠ y, 设z = (x+y)/2.
有||f(x)-f(z)|| = d(f(x),f(z)) = d(x,z) = ||(x-y)/2|| = ||x-y||/2 > 0.
同理||f(z)-f(y)|| = ||x-y||/2.
而||f(x)-f(y)|| = d(f(x),f(y)) = d(x,y) = ||x-y||.
于是||f(x)-f(z)||+||f(z)-f(y)|| = ||f(x)-f(y)|| = ||(f(x)-f(z))+(f(z)-f(y))||.
平方并展开得||f(x)-f(z)||·||f(z)-f(y)|| = (f(x)-f(z),f(z)-f(y)).
由Cauchy-Schwarz不等式的取等条件, 存在t, 使f(z)-f(y) = t·(f(x)-f(z)) (f(x)-f(z) ≠ 0).
代回得|t| = 1, 又f(x) ≠ f(y), 只有t = 1, 2f(z) = f(x)+f(y).
由前面已证f(2z) = 2f(z), 即有f(x+y) = f(x)+f(y).

最后在上面结论中取y = -x, 得f(-x) = f(0)-f(x) = -f(x).
进而有f(-λx) = -f(λx) = -λf(x)对任意λ > 0.

综上, f保持加法和数乘, 为线性变换.
复合平移之后f为仿射变换.

作为推论, 欧式空间中保持任意曲线长度的映射也只有仿射变换.
因为两点间长度最短的曲线一定变为长度最短的曲线.

Answer 2

那空间是他的一个不变子空间原像和像都在同一个空间的线性映射就是线性变换，所以这变换不是线性变换，也就是像必须是原像的某个线性组合，所以线性变换能够用矩阵表示。
如果线性映射的像空间不在原像的空间之内，那就不是线性变换
比如x=y^2+z^2
显然，yz就可能不能由x线性组合出