Question

求极限limx→+∞[x^(1/x)-1]^(1/lnx)

求极限limx→+∞[x^(1/x)-1]^(1/lnx)
化指数后，ln[x^(1/x)-1]求导后不太对
求图片全解
答案是e^-1

Answer 1

lim[x^(1/x)-1]^(1/lnx)
=e^limln[x^(1/x)-1]/lnx
罗比达法则
=e^lim[1/(x^1/x -1)*(x^1/x)']/(1/x)
因为x^1/x 化为自然对数求导后可得x^1/x=x^1/x *(1-lnx)/ x^2
又因为limx趋向无穷大时x^1/x -1 =e^lnx/x -1 ~lnx/x 也可得limx^1/x =1
代入
=e^limX^1/X *(1-lnx)/x(x^1/x-1)
=e^lim1 * (1-lnx) / x* lnx/x
=-1
既=e^-1

Answer 2

y=[x^(1/x)-1]^(1/lnx)
lny=ln[x^(1/x)-1]/lnx
右边罗必塔法制
=[x^（1/x）]'x/x^(1/x)
=x[x^(1/x)*(1-lnx)/x^2]/x^(1/x)
=(1-lnx)/x继续罗必塔法则
=-1/x
=0，极限

所以本题的极限的最终结果=1.

追问

=x[x^(1/x)*(1-lnx)/x^2]/x^(1/x)怎么来的?

追答

那是因为：[x^（1/x）]'=x^（1/x）*[（1-lnx）/x^2].

追问

看不懂，，不太对，答案是e^-1

Answer 3

答案是1/e。 运用x^(1/x)-1=e^(lnx/x)-1=lnx/x
[x^(1/x)-1]^(1/lnx)=e^(lnlnx/lnx-1)=1/e