Question

高中数学题（有关导数）。需要过程，望高手速度解答！

若f（X）=X(X-1)(X-2)...........(X-100),则f‘（0）=？

Answer 1

令 g(x) = (x-1)(x-2)...........(x-100)

则 f(x) = xg(x)

由两函数相乘求导公式可知，f'(x) = g(x) + xg'(x)

x=0时，xg'(x)一项为0

所以 f'(0) = g(0) = (-1)(-2)...(-100) = 100!

（! 表示 阶乘）

追问

好像没有学过阶乘这个概念，能不能稍微解释一下，谢谢！

追答

N的阶乘 = 不大于N的所有正整数之乘积，例如 5! = 1×2×3×4×5 = 120 ，这道题里面-1到-100共偶数项相乘，负号抵消后就等于1到100的乘积

Answer 2

f'(x)=(x-1)(x-2)……（x-100）+x(x-2)(x-3)……（x-100）+……+x(x-1)(x-2)……(x-99)
故f'(0)=100!

也就是1一直乘到100，因为f‘（x）后面几项都乘以x，也就是f'(0)时这几项都是0

Answer 3

把（x-1）（x-2）...（x-100）看成一个整体
f（x）=x（x-1）（x-2）...（x-100）
f'（x）=x ' *[（x-1）（x-2）...（x-100）]+x[（x-1）（x-2）...（x-100）]‘
=（x-1）（x-2）...（x-100）+x[（x-1）（x-2）...（x-100）]‘
f‘（0）=100!

追问

f'（x）=x ' *[（x-1）（x-2）...（x-100）]+x[（x-1）（x-2）...（x-100）]‘
=（x-1）（x-2）...（x-100）+x[（x-1）（x-2）...（x-100）]‘
f‘（0）=100!
请您再给我稍微解释一下这几个步骤，麻烦了！（最好是有公式的那种）谢谢您了！

追答

求导公式（uv)'=uv'+u'v你把x当成u，把（x-1）（x-2）...（x-100）当成v带进去就可以了，至于f‘（0）=100!就是把x=0带进上面求的公式，有加号后面有个0它的值就是0了，前面有100个符号，他的结果就是正的了，100!表示从1一直乘到100

Answer 4

f‘（x）=(X-1)(X-2)...........(X-100),则f‘（0）=100！

Answer 5

f（x）=x（x-1）（x-2）...（x-100）
f'（x）=x ' *[（x-1）（x-2）...（x-100）]+x[（x-1）（x-2）...（x-100）]‘
=（x-1）（x-2）...（x-100）+x[（x-1）（x-2）...（x-100）]‘
f‘（0）=100