Question

在平面直角坐标系XOY中，动点P到定点F(1,0)的距离比点P到Y轴的距离大1，设动点P的轨迹为曲线C，

已知动直线L过点Q(4,0)交曲线C与A,B两点，（1）若直线L的斜率为1，求AB的长，
（2），是否存在垂直于X轴的直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程，如果不存在，说明理由

Answer 1

（1）
动点P到定点F(1,0)的距离比点P到Y轴的距离大1,
将y轴所在直线向左平移1个单位得到直线x=-1，
那么动点P到定点F(1,0)的距离与点P到x=-1的距离相等,
所P点轨迹为以F为焦点，x=-1为准线的抛物线
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x
则 L:y=x-4 代入y²=4x
得：(x-4)²=4x,即x²-12x+16=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=12,x1x2=16
∴|AB|=√2*√[(x1+x2)²-4x1x2]=√2*√(144-64)=4√10

(2)
设直线m:x=m，
线段AQ的中点为M(2+x1/2,y1/2),
即是以AQ为直径的圆的圆心
直线m到M的距离d=|2-m+x1/2|
|AQ|²=(x1-4)²+y²1=x²1-8x1+16+4x1=x²1-4x1+16
若直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值
即|AQ|²/4-d²=（x²1-4x1+16)/4-(2-m+x1/2)²
=x²1/4-x1+4-(4+m²+x²1/4-4m-mx1+2x1)
=-m²+4m+(m-3)x1为定值(与x1无关）
那么m-3=0,m=3
∴m=3时，|AQ|²/4-d²=3，弦长为2√3
直线m被以AQ为直经的圆M所截得的弦长恒为定值

追问

直线m到M的距离d=|2-m+x1/2|,这个距离怎么画，是不是圆心到直线的距离

追答

是呀M(2+x1/2,  y1/2),到x=m的距离

横坐标相减取绝对值，d=|2-m+x1/2|,