Question

已知函数f(x)=ax+x㏑x,且图像在点(1/e,f(1/e))处的切线斜率为1(e为自然对数的底数）.（1）求实数a的值.

﹙2﹚设g（x）=f（x）－x／x－1，求g（x）的单调区间。﹙3﹚当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：n的根号m次／m的根号n次＞n／m

Answer 1

(1)f'(x)=a+lnx+1
f'(1/e)=a-1+1=a=1
a=1
(2)g(x)=xlnx/(x-1)
g'(x)=[(lnx+1)(x-1)-xlnx]/(x-1)^2
=(x-lnx-1)/(x-1)^2
令h(x)=x-lnx-1
h'(x)=1-1/x
当0<x<1时，h'(x)<0；当x>1时，h'(x)>0
所以h(x)有最小值h(1)=0
所以当x≠1时，有h(x)>0
即g'(x)>0
所以g(x)得单调区间为(0,1)和(1,+∞)
(3)证明：当m>n时,g(m)>g(n)
即mlnm/(m-1)>nlnn/(n-1)
以e为底，做指数，得
e^[mlnm/(m-1)]>e^[nlnn/(n-1)]
即m^[m/(m-1)]>n^[n/(n-1)]①
欲证n^(1/m)/m^(1/n)>n/m
即证n^n/m^m>(n/m)^(mn)
即证m^(mn-m)>n^(mn-n)②
显然①与②等价，故命题成立