Question

初中数学一题（急急急，用初中的方法解答）

如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD，CD，CE，∠BDA=60°。 （1）求证；△BDE是等边三角形。 （2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。
这是图 最好用初中的方法解答，谢谢。写下过程，追加分

Answer 1

因为E是内心 所以为圆心 所以EB=EC=ED ，∠BDA=60°所以是等边

BDCE为菱形 ∠BDC=120°∠EBD=∠EDB ∠ECD=∠EDC

因为∠BDC=∠EDB+∠EDC=120 所以∠EBD+∠ECD=120

所以∠BEC=∠BDC=120 又因BE=EC 所以为菱形

Answer 2

解：（1）证明：由题意知，EB=ED=r 所以∠EDB=∠EBD=60°
所以∠BED=180°-60°*2=60°
所以 △BDE是等边三角形
（2）四边形BDCE为菱形
证明：由题意知，BE=CE=r
由上题知，△BDE是等边三角形 所以，BD=BE
因为，∠BDC=120° ∠BDE=60° 所以，∠EDC=60°
同理，△CDE是等边三角形 所以，DC=EC
所以，DC=EC=BD=BE 所以，四边形BDCE为菱形（四条边都相等的四边形为菱形）

大哥，给我加点分把 打这么多字还有符号 麻烦得很。。

Answer 3

很高兴能替你解答：
(1) 证明它是等边的，就从它的边入手。
我们知道E是内心，那么AD就是直径，它对的角就是90度，还有角BDA是60度，那么边BD就是AD的一半即（ED）.（1）得证。
证： 因为点E是内心，点E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D
所以∠ABD＝90°
又因为∠BDA=60°，
所以BD=DE=0.5AE
所以△BDE是等边三角形
（1）式得证。
（2）BDCE是菱形。
根据（1）和 ∠BDC=120°，易得△BDE与△ACD全等。
那么可以得到BD=CD=BE=CE
四边形BDCE是菱形

Answer 4

∠BDA=60°
则弧AB=120°
则弧AC+弧BDC=240°
则∠BAC+∠ABC=120°
因为E是内心
则AE，BE，CE为角平分线
则∠ABE+∠BAE=60°
则∠BED=60°
则△BDE是等边三角形

菱形
∠BDC=120°
则∠BDC+∠EBD=180°
则BE平行DC
∠ACB=∠ADB=60°
∠BAC=180-∠BDC=60°
则∠EAC+∠ECA=60°
则∠DEC=60
则∠BEC=120
则∠BEC+∠EBD=180
则EC平行BD
则四边形BDCE是平行四边形
因为∠BAD=∠CAD
BD=DC
则平行四边形BDCE是菱形