在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 x=cosφ y=sinφ (φ为参数),
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ(φ为参数),曲线C2的参数方程为x=acosφy=bsinφ(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,...
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
x=cosφ
y=sinφ
(φ为参数),曲线C2的参数方程为
x=acosφ
y=bsinφ
(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=
π
2
时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(II)设当α=
π
4
时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-
π
4
时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
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x=cosφ
y=sinφ
(φ为参数),曲线C2的参数方程为
x=acosφ
y=bsinφ
(a>b>0,φ为参数)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=
π
2
时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(II)设当α=
π
4
时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-
π
4
时,l与C1,C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
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(1)C1:x^2+y^2=1,故曲线C1是以原点为中心半径为1的单位圆
C2:(x/a)^2+(y/b)^2=1,且a>b>0,故C2是中心在原点、a为长轴、b为短轴的椭圆
当α=0时,射线l:θ=α交C1于点(1,0),交C2于(a,0),
这两个交点间的距离为2即a=3(a=-1与a>0不符,舍去)
当α=π/2时,射线l:θ=α交C1于点(0,1),交C2于(0,b)两个交点重合即b=1
(2)当α=π/4时,交C1于点A1:((1/2)*2^(1/2),(1/2)*2^(1/2))
交C2于点B1:((3/2)*2^(1/2),(1/2)*2^(1/2))
根据对称性:A2:((1/2)*2^(1/2),-(1/2)*2^(1/2))
B2:((3/2)*2^(1/2),-(1/2)*2^(1/2))
显然,A1A2平行于B1B2 ,四边形面积为:
1/2×( ((1/2)*2^(1/2)-(-(1/2)*2^(1/2)))+((1/2)*2^(1/2)-(-(1/2)*2^(1/2))))×((3/2)*2^(1/2)-(1/2)*2^(1/2))=1/2×2×(2^(1/2))×(2^(1/2))=2
C2:(x/a)^2+(y/b)^2=1,且a>b>0,故C2是中心在原点、a为长轴、b为短轴的椭圆
当α=0时,射线l:θ=α交C1于点(1,0),交C2于(a,0),
这两个交点间的距离为2即a=3(a=-1与a>0不符,舍去)
当α=π/2时,射线l:θ=α交C1于点(0,1),交C2于(0,b)两个交点重合即b=1
(2)当α=π/4时,交C1于点A1:((1/2)*2^(1/2),(1/2)*2^(1/2))
交C2于点B1:((3/2)*2^(1/2),(1/2)*2^(1/2))
根据对称性:A2:((1/2)*2^(1/2),-(1/2)*2^(1/2))
B2:((3/2)*2^(1/2),-(1/2)*2^(1/2))
显然,A1A2平行于B1B2 ,四边形面积为:
1/2×( ((1/2)*2^(1/2)-(-(1/2)*2^(1/2)))+((1/2)*2^(1/2)-(-(1/2)*2^(1/2))))×((3/2)*2^(1/2)-(1/2)*2^(1/2))=1/2×2×(2^(1/2))×(2^(1/2))=2
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东莞大凡
2024-08-07 广告
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