Question

请大神解释一下，一道同济出的《高等数学》书上的例题

设f(x)在[ 0,正无穷)内连续且f(x)>0，证明函数F(x)＝∫（上限0：,下限：x)tf(t)dt/∫（0，x)f(t)dt在内为单调增加函数。
证：由积分上限函数的求导公式得，F'(x)=[xf(x)∫（0，x）f(t)dt-f(x)∫(0,x)tf(t)dt]/[∫(0，x)f(t)dt]^2,下面一步没看懂，书本上是继续等于[f(x)∫（0，x）（x-t）f(t)dt]/[∫(0,x)f(t)dt]^2,请问这个分子中的第一个积分前的x是如何能移到“∫”里面去的？不是说积分上限是x时积分变量dt就是表示dx的呀？
请问：如果把t仍旧用x表示，那还能这样拿进拿出吗？

Answer 1

x只是 一个系数，拿进去了而已，你是对t积分的，所以x可以拿进拿出

t怎么能用x表示啊。t的范围是（0，x），那么多值，你怎么表示啊

Answer 2

我想了半天，觉得你的问题其实还是在根本上。你不能把积分只看作是对求导的逆运算，还要注意它的延伸呀，它的图像的涵义。在这里，x和t不是一样的，你无法用x来表示t。上面的其实已经说清楚了，x只是一个系数而已，符合一般运算的。