Question

已知向量a=(-1,cosx),b=(3/2,sinx)

1 求ab平行时，2cos²x-sin2x
2 求f（x）=（a+b）·b在[-π/2,0]的最大值

Answer 1

向量a=(-1,cosx),b=(3/2,sinx)

若ab平行
则tanx=-3/2
2cos²x-sin2x=(2cos²x-sin2x)/(sin²x+cos²x)=(2cos²x-cos²xtanx)/(sin²x+cos²x)同除cos²x得
=(2-tanx)/(tan²x+1)=1
求f（x）=（a+b）·b=3/4+cosx*sinx+sin²x=5/4+√2/2sin(2x+π/4)

x∈[-π/2,0]，2x+π/4∈【-3π/4,π/4】

则最大值为7/4

追问

第二题中间(2cos²x-cos²xtanx)怎么得来的

追答

f（x）=（a+b）·b=3/4+cosx*sinx+sin²x=3/4+1/2sin2x+(1-cos2x)/2=5/4+1/2(sin2x+cos2x)

=5/4+√2/2(sin2xcosπ/4+cos2xsinπ/4）=5/4+√2/2sin(2x+π/4)
x∈[-π/2,0]，2x+π/4∈【-3π/4,π/4】此步画图后知sin函数在此区间单调递增
知π/2x+π/4=π/4时取得最大值
sin2x=2sinxcosx=2cosxtanxcosx=cos²xtanx

追问

2cosxtanxcosx为什么不是=2cos²xtanx

追答

是一样的啊，我只是让你更明白过程而已！

Answer 2

(1)
a//b，即有 -sinx=3/2cosx
tanx = -3/2
故(cosx)^2-3sin2x＝[(cosx)^2-3sin2x]/1＝[(cosx)^2-3sin2x]/[(sinx)^2+(cosx)^2]
＝[(cosx)^2-6sinxcosx]/[(sinx)^2+(cosx)^2]＝[(tanx)^2-6tanx]/[(tanx)^2+1]
＝[(-3/2)^2-6(-3/2)]/[(-3/2)^2+1]＝(9/4+9)/(9/4+1)＝(45/4)/(13/4)＝45/13
(2)
f(x)
=(a+b).b
=(1/2,sinx+cosx).(3/2,sinx)
=sinxcosx +(sinx)^2 + 3/4
=(1/2)sin2x + (1-cos2x)/2 +3/4
= 根号2/2*sin(2x-45°) + 5/4

-90<=x<=0,故有-225<=2x-45<=-45
故有-根号2/2<=sin(2x-45)<=根号2/2
故最大值是：根号2/2*根号2/2+5/4=1/2+5/4=7/4