Question

满足x+y-1≤0,x≥0,y≥0,若0≤ax+by≤2,则(b+2)/(a+1)的取值范围

Answer 1

在平面直角坐标系(关于x、y的)中，作三条直线：y=1、y=3-x、y=x+1
这三条直线包围的三角形区域(含边界)即是不等式组：{y>=1; x+y<=3; x-y+1>=0;}的解集
该三角形区域的三个顶点分别是(0, 1)、(1, 2)、(2, 1)
分别考察x、y落在三个顶点时：
x=0、y=1，此时ax+by=b，即有0≤b≤2
x=1、y=2，此时ax+by=a+2b，即有0≤a+2b≤2
x=2、y=1，此时ax+by=2a+b，即有0≤2a+b≤2

可以验算，对于x、y落在该三角形区域(含边界)的除三个顶点之外的点的情形，确定出的a、b取值范围一定包含上述关于a、b的不等式组的解集，即：
所有由符合上述关于x、y的不等式组的取值组合(x, y)所确立的关于a、b的诸多不等式0≤ax+by≤2，其交集就是关于a、b的不等式组{0≤b≤2; 0≤a+2b≤2; 0≤2a+b≤2}的解集。

同样用平面直角坐标系(关于a、b的)来求解上述关于a、b的不等式组{0≤b≤2; 0≤a+2b≤2; 0≤2a+b≤2}，可知解集为一个梯形区域，四个顶点坐标分别是(0, 0)、(-2/3, 4/3)、(2/3, 2/3)、(1, 0)
那么对这四个顶点分别求(b+2)/(a+1)，可得：
a=0、b=0，此时(b+2)/(a+1)=2
a=-2/3、b=4/3，此时(b+2)/(a+1)=10
a=2/3、b=2/3，此时(b+2)/(a+1)=8/5
a=1、b=0，此时(b+2)/(a+1)=1

可以验算，对于a、b落在该梯形区域除这四个顶点之外的点的情形，(b+2)/(a+1)一定介于上述四个值中最小值1与最大值10之间。

所以：(b+2)/(a+1)的取值范围是[1, 10]。

追问

题目条件不一样，可行域不一样

追答

0≤ax+by≤2在约束条件中恒成立，所以ax+by的最大值≤2，ax+by的最小值大于等于0,ax+by的最值在可行域的顶点（0,1），(1,2),(2,1)处取得，所以0≤b且0≤2a+b≤2且0≤a+2b≤2，关于（a,b)的可行域与点（-1，-2）连线的斜率的范围，结果可能是[1,10]