Question

已知a、b、c满足:a、b、c∈R+,a²+b²=c²,当n>2时,比较c^n与a^n+b^n的大小。

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Answer 1

cⁿ>aⁿ＋bⁿ。
证明如下：
因a、b、c都是正数，且a²＋b²=c²，即(a/c)²＋(b/c)²=1且(a/c)<1、(b/c)<1。则：
(aⁿ)/(cⁿ)=(a/c)ⁿ=(a/c)^(n－2)(a/c)²<(a/c)²，同理，有：(bⁿ)/(cⁿ)<(b/c)²，所以，
(aⁿ)/(cⁿ)＋(bⁿ)/(cⁿ)<(a/c)²＋(b/c)²=1，即： (aⁿ)/(cⁿ)＋(bⁿ)/(cⁿ)<1，就是cⁿ>aⁿ＋bⁿ。