Question

线性代数 特征值与特征向量问题

若λ1,λ2是矩阵A的不同特征值。α1，α2分别是λ1，λ2的特征向量，证明：α1与α2的线性组合k1α1+k2α2不再是A的特征向量 。

Answer 1

如果k1α1+k2α2是A对应于特征值λ的特征向量 ，则A(k1α1+k2α2)=λ(k1α1+k2α2)。
又，A(k1α1+k2α2)=k1(Aα1)+k2(Aα2)=λ1k1α1+λ2k2α2。
所以，λ(k1α1+k2α2)=λ1k1α1+λ2k2α2，即k1(λ-λ1)α1+k2(λ-λ2)α2=0。
对应于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以α1,α2线性无关。
所以，λ-λ1=λ-λ2=0。所以λ1=λ2，矛盾。
所以，α1与α2的线性组合k1α1+k2α2不再是A的特征向量。

Answer 2

用字母代替后进行运算验证即可
特征向量总是属于某个特征值的,这个只是两个向量的组合,方向发生了变化,因此不是特征向量.

Answer 3