Question

已知函数f(x)=x^3+2x^2+x-4,g(x)=ax^2+x-8(1).若对任意x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),

已知函数f(x)=x^3+2x^2+x-4,g(x)=ax^2+x-8(1).若对任意x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围(2)若对任意的x1,x2∈[0,+∞)都有f(x1)≥g(x2)求实数a 的取值范围

Answer 1

(1)另F(x)=f(x)-g(x)=x^3+2x^2+x-4-（ax^2+x-8）=x^3+(2-a)x^2+4
求导：F‘(x)=3x^2+2(2-a)x
另F‘(x)=3x^2+2(2-a)x=0 得x1=0或x2=2(a-2)/3
x=0时F(x)=4>0
当x1≥x2时，条件成立
此时：2(a-2)/3<0 得a<=2
当x1<x2时，a>2,x2为函数F(X)的极小值，
此时，x2为函数F(X)的极小值，
极小值为F(x)=F(2(a-2)/3)=(2(a-2)/3)^3+(2-a)(2(a-2)/3)^2+4≥0
解得，a<=5,所以此时解为2<a<=5
综上得，a<=5
(2)先求f(x)=x^3+2x^2+x-4在[0,+∞)的最小值
求导：f’(x)=3x^2+4x+1，

另f’(x)=3x^2+4x+1=0 得x1=-1,x2=-1/3
所以f(x)在[0,+∞)上是增函数，最小值为f(0)=-4
求g(x)=ax^2+x-8在[0,+∞)的最大值
法一：求导：g'(x)=2ax+1
若a=0,则g'(x)=1>0,g(x)为增函数，无最大值，舍
若a不等于0，
另g'(x)=2ax+1=0 得x=-1/2a
当a>0时g(x)不存在最大值
当a<0时g(x)存在最大值
因为-1/2a>0,所以最大值为g(-1/2a)=a(-1/2a)^2+(-1/2a)-8=-1/4a-8
法二：若a=0时，g(x)=x-8是增函数，无最大值，舍
若a不等于0，g(x)=ax^2+x-8为二次函数，
结合二次函数性质及图像，得a<0,此时对称轴-1/2a>0
所以最大值为g(-1/2a)=a(-1/2a)^2+(-1/2a)-8=-1/4a-8
又因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)都有f(x1)≥g(x2)，
所以-4≥-1/4a-8，解得a<=-1/16

Answer 2

1. 这道题可以用数形结合的方法。对f(X)求导，根据单调性和几个值，画出f（x）的大致图像。

2. 第一题的解答关键是：对任意x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),也就是说在x∈[0,+∞)时，f(X)图像在g(X)图像的上方，就是f(X)的最小值要大于g(X)的最大值，然后分情况讨论，老师应该讲过这类的题目！

3. 第二题解题关键是对任意的x1,x2∈[0,+∞)都有f(x1)≥g(x2)，就是说，额，不会了，你问问别人或者去翻翻以前的试卷，肯定有这类的题目

    

Answer 3

第一问f(x)>=g(x)等价于f(x)-g(x)>=0,即
f(x)-g(x)=x^3+(2-a)x^2+4>=0,当x>=0恒成立。
令[f(x)-g(x)]'=0可求得f(x)-g(x)在x>0时的图像的驻点
3x^2+2(2-a)x=0解得
x=0或x=-(4-2a)/3，
由于当x=0时f(x)-g(x)=4>=0,
由于当a=<2时，f(x)-g(x)=x^3+(2-a)x^2+4>=0,当x>=0时。
而当a>2时，f(x)-g(x)在x>0的图像有唯一驻点x=-(4-2a)/3
由三元一次方程的增减性我们知道
f(x)-g(x)在x>-(4-2a)/3时递增
在0<x<-(4-2a)/3时递减，f(x)-g(x)在x=-(4-2a)/3时大于等于0则
f(x)-g(x)在x>=0时恒大于等于0
将此代入得
f(x)-g(x)=8/27*(a-2)^3-4/9*(a-2)^3+4>=0
解得
2<a=<5
综上可得
a=<5 不好意思啊 第二问不会做了..

Answer 4

(1)设0≤h(x)=f(x)-g(x)=(x�0�6+2x�0�5+x-4)-(ax�0�5+x-8)=x�0�6+(2-a)x�0�5+4，设0=h′(x)=3x�0�5+2(2-a)x=x[3x-2(a-2)]，x1=0，h(0)=0�0�6+(2-a)0�0�5+4=4≥0。0≤h(2(a-2)/3)=[2(a-2)/3]�0�6+(2-a)[2(a-2)/3]�0�5+4，(a-2)�0�6≤27，a-2≤3，∴a≤5(2)设0=f′(x)=3x�0�5+4x+1=(x+1)(3x+1)，∵-1<-1/3<0≤x1，∴f(x1)(min)=f(0)=0�0�6+2*0�0�5+0-4=-4设0=g′(x)=2ax+1(a<0)，x=-1/2a，∴g(x2)(max)=g(-1/2a)=a(-1/2a)�0�5+(-1/2a)-8=-(32a+1)/4a∴0≤f(x1)-g(x2)=-4-[-(32a+1)/4a]=(16a+1)/4a，∴a≤-1/16