Question

数学已知z为虚数，z+z-2分之9为实数， ①若z-2为纯虚数，求虚数z ②求lz-4l的取值范围

1.
z-2为纯虚数，设z-2=bi，则z=2+bi
z+9/(z-2)
=2+bi+9/(bi)
=2+bi-9i/b
=2+(b-9/b)i
因为z+9/(z-2)为实数
则b=9/b
b=±3
z=2±3i
2.
设z=x+yi,y≠0，
z+9/(z-2)
=x+yi+9/(x-2+yi)
=x+yi+9(x-2-yi)/[(x-2)^2+y^2]
=x+9(x-2)/[(x-2)^2+y^2]+{y-9y/[(x-2)^2+y^2]}i
因为z+9/(z-2)为实数
y-9y/[(x-2)^2+y^2]=0,
（x-2)^2+y^2=9,
|z-4|的取值范围是[1,5]. 这个范围是怎么来的

Answer 1

z=x+yi

满足（x-2)^2+y^2=9,
所以z在这个圆上
圆心C(2,0),r=3
而|z-4|就是z和A(4,0)的距离
显然A在园内
所以连接AC，和元交点就是最值点
AC=2
所以最大是r+2=5
最小r-2=1
所以是[1,5]