Question

探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：
．

Answer 1

解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=
1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD，
=180°-
1
2
（∠ADC+∠ACD），
=180°-
1
2
（180°-∠A），
=90°+
1
2
∠A；

探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=
1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠BCD，
=180°-
1
2
（∠ADC+∠BCD），
=180°-
1
2
（360°-∠A-∠B），
=
1
2
（∠A+∠B）；

探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠P=
1
2
∠ADC，∠PCD=
1
2
∠ACD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-
1
2
∠ADC-
1
2
∠ACD，
=180°-
1
2
（∠ADC+∠ACD），
=180°-
1
2
（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=
1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=
1
2
（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．

Answer 2

解：(1) ∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC， ∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A．
(2) ∵DP平分∠ADC， ∴∠PDC=12∠ADC．
同理，∠PCD=12∠ACD． ∴∠DPC=180°−∠PDC−∠PCD=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A
(3)延长DA、CB交于点O． 由(2)中结论知，∠P=90°+12∠O，由(1)中结论知，∠A+∠B=180°+∠O， ∴∠P=90°+12(∠A+∠B−180°)=12(∠A+∠B)．
(4) ∠P=12(∠A+∠B+∠E+∠F)−180°．