Question

如图1，已知抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．

如图1，已知抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
（3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的三分之一

Answer 1

（1）∵OA=2
∴A（-2，0）
∵A与B关于直线x= 1 2 对称
∴B（3，0），
由于A、B，两点在抛物线上，
∴
-2-2b+c=0 - 9 2 +3b+C=0 ；
解得
b= 1 2 c=3 ；
∴y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3
过D作DE⊥x轴于E
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE
即xD=yD，
∴x=- 1 2 x2+ 1 2 x+3，
解得x1=2，x2=-3（舍去）
∴D（2，2）；（4分）

（2）存在
∵BD为定值，
∴要使△BPD的周长最小，只需PD+PB最小
∵A与B关于直线x= 1 2 对称，
∴PB=PA，只需PD+PA最小
∴连接AD，交对称轴于点P，此时PD+PA最小，（2分）
由A（-2，0），D（2，2）可得
直线AD：y= 1 2 x+1（1分）
令x= 1 2 ，y= 5 4
∴存在点P( 1 2 ， 5 4 )，使△BPD的周长最小（1分）

（3）存在．
（i）当AD为平行四边形AMDN的对角线时，MD∥AN，即MD∥x轴
∴yM=yD，
∴M与D关于直线x= 1 2 对称，
∴M（-1，2）（1分）
（ii）当AD为平行四边形ADNM的边时，
∵平行四边形ADNM是中心对称图形，△AND≌△ANM
∴|yM|=|yD|，
即yM=-yD=-2，
∴令- 1 2 x2+ 1 2 x+3=-2，即x2-x-10=0；
解得x1，2= 1±
41 2 ，M( 1+
41 2 ，-2)或M( 1-
41 2 ，-2)，（2分）
综上所述：满足条件的M点有三个M（-1，2），M( 1+
41 2 ，-2)或M( 1-
41 2 ，-2）．