Question

设函数f(x)=e^x

(1)求证f(x)≥ex
(2)记曲线y=f(x)在点P(t,f(t))处的切线为l，若l与x轴，y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值

Answer 1

（1）令h（x）=e^x-ex
求导得到h‘（x）=e^x-e
令e^x-e>0 得到x>1
令e^x-e<0 得到x<1
故h（x）在x>1 上单调递增，在x<1上单调递减
所以h（x）有最小值h（1）=0
所以h（x）>=0 即 e^x-ex
即:f(x)≥ex
（2）f’（x）=e^x
得到l：y=e^t(x-t)+e^t=e^t x-e^t(1-t)
得到l与x轴y轴的交点是（t-1，0），（0，e^t-te^t）
所以S=1/2*（1-t）*（e^t-te^t)=(1-t)^2e^t/2
S'=e^t/2*(t*t-1)
得到S'在t<-1上递增， 在-1<t<0上递减
所以当t=-1时，S有最大值，最大值是S=2e^2