Question

证明不等式 sinx>x-(x^2/2) 求过程 （x大于等于0）. 求过程 谢谢

Answer 1

解答：
利用导数方法(条件有误，是x大于0)
构造函数f(x)=sinx-x+x²/2
则 f(0)=0
f'(x)=cosx-1+x=g(x)
则g'(x)=-sinx+1≥0恒成立
∴ g(x)在（0，+∞）上是增函数
∴ g(x)>g(0)=cos0-1+0=0
即f'(x)>0在（0，+∞）上恒成立
∴ x>0时，f(x)>f(0)=0
即 sinx-x+x²/2>0
即sinx>x-x²/2

追问

= = 条件没错 其实我也是想知道等于零的时候的情况怎么办的 答案上好像说是什么独立的点什么的

追答

不可能啊，
x=0时，两边都是0啊。是相等的。

追问

= = 我也是想问这个呢......答案上好像说的 是 当sinx=0时都是独立的点 我也记不太清了 习题字自习室 没带回来......纠结

追答

肯定有问题：
是x>0时，sinx>x-x²/2
可以利用电脑工具画出图像。

Answer 2

这里用到了严格单调性的定理：
令F(x)=sinx-x+x²/2
F'(x)=cosx-1+x

则F''(x)=-sinx+1≥0
所以，F'(x)=cosx-1+x在(0,∞)严格单调递增（因为F''(x)仅在个别独立的点F''(x)=0，不存在一小段区间使得F''(x)=0）

又F'(0)=cosx-1=0
所以X>0时，F'(x)=cosx-1+x>0恒成立
所以F(x)=sinx-x+x²/2在(0,∞)严格单调递增（仅在孤立的点导数为0）
又F(0)=sinx-x+x²/2=0
所以X>0时，F(x)=sinx-x+x²/2>0恒成立
而X=0时，F(x)=sinx-x+x²/2=0

所以：sinx>x-x²/2，x>0时；
sinx=x-x²/2，x=0时

追问

能不能说下什么是严格单调性 谢谢

追答

首先，你采纳的回答是错误的！虽然答案最终一样，但这是巧合！

函数导数大于等于0 不能推出函数是单调递增的，只能说明函数是非减的！

你想想，函数有一段水平线段，它的导数是大于等于0的，但存在无数此线段上的点，函数值一样！

追问

那倒数大于零是不是就的递增的了 还有求二阶导大于零的 这个有啥用

追答

追问

谢谢

Answer 3

sin什么意思？

追问

正弦

追答

.........好吧超出我的范围了~~~~~~~~