Question

设a∈R,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=1/3x^3+x+1. 若X1,X2是函数f(x)的两个相异零点，求证：g(X1X2)>g(e^x)

Answer 1

g(x)=1/3x^3+x+1

g`(x)=x^2+1恒>0
g(x)在R上单调递增
那么我们只需证明X1X2>e^x就可以了
a∈R,函数f(x)=lnx-ax

根据题意易知函数有相异零点则此函数不单调
必有a>0,（若a<=0函数必为单调函数）
y'=1/x-a,当x=1/a时取极大值ln(1/a)-1<0,得a>1/e.
假设X1X2<=e^2,X1<X2,则将a=lnx1/x1代入，
由0=lnx2-ax2,x2<=e^2/x1
得出aX1^2-2X1+ae^2<=0,
而判别式为4(1-(ae)^2)<0,矛盾
则假设不成立
命题获证！
即X1X2>e^x
又因为g(x)在R上单调递增
∴g(X1X2)>g(e^x)
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