Question

数学题，需要详细过程，有解这种题的通式更好

Answer 1

Z/3Z是一个域, 其上的一元多项式环有带余除法.
判断公因式从概念来说只要逐个试除就行, 计算也没什么特别的, 就是长除法.
例如x³+x+1除以x²+x+1, 首先得到商的1次项为x.
x³+x+1-x(x²+x+1) = 2x²+1, 再得到商的0次项为2.
2x²+1-2(x²+x+1) = x+2, 次数小于除式, 也就是余式了.
于是x³+x+1 = (x+2)(x²+x+1)+x+2.
x²+x+1不整除x³+x+1, 不是x²+x+1和x³+x+1的公因式, III不正确.

对于一次因式, 可能更快捷的办法是用余式定理(其实也是带余除法的推论).
x+1整除P(x)当且仅当-1(也就是2)是P(x) = 0的根, 也即P(2) = 0.
为了计算简便, 其实算P(-1)更好.
将x = -1代入x²+x+1得1 ≠ 0, x+1不是x²+x+1和x³+x+1的公因式, I不正确.

同理, x+2整除P(x)当且仅当P(1) = 0 (-2 = 1).
将x = 1代入x²+x+1和x³+x+1都得0, 即x+2是二者的公因式, II正确.

注: 其实x+2就是二者的最大公因式.
前面带余除法已经得到余式x+2, 下一步只要验证x+2整除x²+x+1即可.
为了熟悉Z/3Z上的多项式除法, 可以不用余式定理, 算一下试试.

Answer 2

解这种题我感觉用因式定理比较合适，因为ⅠⅡⅢ若为上述两式的公因子，则令ⅠⅡⅢ为零的x的值必使上述两式为零。例如Ⅰ为零时x=-1，但x=-1时以上两式均不为零，故Ⅰ必不是公因子。

Answer 3

1吧。。。