Question

设两个非零向量e1与e2不共线，①如果AB向量＝e1＋e3，BC向量＝2e1+8e2，CD＝3（e1

设两个非零向量e1与e2不共线，①如果AB向量＝e1＋e3，BC向量＝2e1+8e2，CD＝3（e1-e2），求证:ABC三点共线？②试确定实数k的值，使ke1+e2和ke1+ke2的共线？

Answer 1

（1）因为 AB=e1+e3 ，BD=BC+CD=5e1+5e2 ，因此 BD=5AB ，
所以 AB//BD ，
又 AB、BD 有公共点 B ，所以 A、B、D 三点共线。（不是 ABC）
（2）因为 ke1+e2 与 ke1+ke2 共线，
所以存在实数 x 使 x(ke1+e2)=ke1+ke2 ，
化为 (xk-k)e1=(k-x)e2 ，
由于 e1、e2 不共线，因此 xk-k=k-x=0 ，
解得 k=0 或 k=1 。