Question

数学数列难题

已知各项均为正的数列｛an｝，满足（an+1）∧2=2（an）∧2+an×an+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N （1）求｛an｝ （2）设数列｛bn｝满足bn=（nan）/（2n+1）2∧n，是否存在正整数m,n,使b1,bm,bn成等比数列 （3）令cn=1+n/an,记｛cn｝的前n项积为T,比较T与9的大小，并证明。。 求解。。
是1+（n/an）....

Answer 1

1.
a(n+1)^2=2an^2+ana(n+1)
数列各项均为正，an≠0，等式两边同除以an^2
[a(n+1)/an]^2=2+[a(n+1)/an]
[a(n+1)/an]^2-[a(n+1)/an]-2=0
[a(n+1)/an +1][a(n+1)/an -2]=0
a(n+1)/an +1恒>0，要等式成立，只有a(n+1)/an-2=0
a(n+1)/an=2，为定值，数列是以2为公比的等比数列。
a2+a4=2a3+4
2a1+8a1=8a1+4
a1=2
an=2×2^(n-1)=2^n
数列{an}的通项公式为an=2^n
2.
bn=(nan)/[(2n+1)2^n]=n×2^n/[(2n+1)2^n]=n/(2n+1)
假设b1，bm，bn成等比，则
bm^2=b1bn
[m/(2m+1)]^2=(1/3)[n/(2n+1)]
整理，得
4nm^2-(2n+3)m+n=0
要方程有实根，判别式≥0
[-(2n+3)]^2-16n^2≥0
4n^2-4n-3≤0
(2n+1)(2n-3)≤0
-1/2≤n≤3/2，n为正整数，n只能为1，此时方程变为4m^2-5m+1=0
(4m-1)(m-1)=0
m=1/4(不是整数，舍去)或m=1(m=n，舍去)
综上得不存在满足题意的m，n。
3.
1+n/an 到底是1+ (n/an)，还是(1+n)/an ?