Question

dy/dx=y/x+1请教，谢谢

是dy/dx=(y/x)+1，谢谢大家

Answer 1

解方程dy/dx=(y/x)+1=(y+x)/x。

解：即有(x+y)dx-xdy=0..........(1)。

其中P=x+y；Q=-x；由于 P/ y=1≠ Q/ x=-1；故不是全微分方程，但可以求出一个积分因子μ(x)。

使之变为全微分方程。积分因子的求法如下：

取G(x)=(1/Q)( P/ y- Q/ x)=(-1/x)(1+1)=-2/x；那么μ(x)=e^∫G(x)dx=e^∫(-2/x)dx=e^(-2lnx)=1/x 。

将1/x 乘(1)式即得[(x+y)/x ]dx-(1/x)dy=0是全微分方程，此时 P/ y= Q/ x=1/x 。

可得F(x，y)=∫[(x+y)/x ]dx=lnx-y/x；即方程的通解为lnx-(y/x)=C。

【因为dF(x，y)=( F/ x)dx+( F/ y)dy=(1/x+y/x )dx-(1/x)dy=0，于是得dydx=(x+y)/x】。

Answer 2

(1).解方程dy/dx=y/(x+1)
解：分离变量得dy/y=dx/(x+1)；积分之得lny=ln(x+1)+lnC=ln[C(x+1)]
即通解为y=C(x+1)；
(2).解方程dy/dx=(y/x)+1=(y+x)/x
解：即有(x+y)dx-xdy=0..........(1)
其中P=x+y；Q=-x；由于∂P/∂y=1≠∂Q/∂x=-1；故不是全微分方程，但可以求出一个积分因子μ(x)
使之变为全微分方程。积分因子的求法如下：
取G(x)=(1/Q)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(-1/x)(1+1)=-2/x；那么μ(x)=e^∫G(x)dx=e^∫(-2/x)dx=e^(-2lnx)=1/x²
将1/x²乘(1)式即得[(x+y)/x²]dx-(1/x)dy=0是全微分方程，此时∂P/∂y=∂Q/∂x=1/x².
可得F(x，y)=∫[(x+y)/x²]dx=lnx-y/x；即方程的通解为lnx-(y/x)=C。
【因为dF(x，y)=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy=(1/x+y/x²)dx-(1/x)dy=0，于是得dydx=(x+y)/x.】

Answer 3

y'=y/x+1
令
y/x=u，题目就变成y'=u+1
y=ux
y'=u'x+ux',其中x'=1
所以u'x+u=u+1
u'x=1
u'=1/x
u=ln x
y/x=ln x
y=xlnx

Answer 4

是dy/dx=y/x+1 常数变易法 设y'=u(x)e^(-∫p(x)dx) 对两边积分，可求