Question

已知F1F2为双曲线Cx^2-y^2=1的左右焦点，点P在C上，角F1PF2=60度，则P到x轴的距离为多少

Answer 1

解：设点P（x1，y1）则F1P=a-ex1，F2P=a+ex1
cosF1PF2=F1P^2+F2P^2-F1F2^2/2F1PF2P
代入得 1/2=（a-ex1)^2+(a+ex1)^2-4c^2/2(a-ex1)(a+ex1)
其中a=1，c=根号2 e=根号2
代入解得x1=根号30/6
代入双曲线解得y1=根号5/5 即为点P到x轴的距离

Answer 2

a=1,b=1,c=√2，
设P至F1距离为m,则P至F2距离为n,m>n,
则m-n=2a=2,
n=m-2,
|F1F2|=2c=2√2,
在三角形PF1F2中，根据余弦定理，
F1F2^2=m^2+(m-2)^2-2*m*(m-2)cos60°，
8=m^2+m^2-4m+4-m^2+2m,
m=√5+1,
n=√5-1,
S△PF1F2=|PF1|*|PF2|sin60°/2=√3,
设P至X轴距离为h,
S△PF1F2=|F1F2|*h/2=2√2h/2=√2h,
√2h=√3,
∴h=√6/2，
P到X轴的距离为√6/2。