Question

已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD与点E，∠1＝∠2 .

(1)若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME.

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Answer 1

　　解题类型：截长补短法

1. 解析：延长DF,BA交于G，可证△CEM≌△CFM, △CDF≌△BGF,通过线段的简单运算，即可求得。

　　答案：（1）∵四边形ABCD是菱形

　　∴CB=CD,AB∥CD

　　∴∠1=∠ACD ,

　　∵∠1=∠2

　　∴∠2=∠ACD

　　∴MC=MD

　　∵ME⊥CD

　　∴CD=2CE=2

　　∴BC=CD=2

　　(2) 延长DF,BA交于G

　　∵四边形ABCD是菱形

　　∴∠BCA=∠DCA ,

　　∵BC=2CF,CD=2CE

　　∴CE=CF

　　∵CM=CM

　　∴△CEM≌△CFM,

　　∴ME=MF

　　∵AB∥CD

　　∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD

　　∵CF=BF

　　∴△CDF≌△BGF

　　∴DF=GF

　　∵∠1=∠2, ∠G=∠2

　　∴∠1=∠G

　　∴AM=GM=MF+GF=DF+ME

Answer 2

图不对题怎么回答啊？

追问

都写好了 最后才发现 图错了

Answer 3

（1）解：∵四边形abcd是菱形，
∴ab∥cd，
∴∠1=∠acd，
∵∠1=∠2，
∴∠acd=∠2，
∴mc=md，
∵me⊥cd，
∴cd=2ce，
∵ce=1，
∴cd=2，
∴bc=cd=2；
（2）证明：如图，∵f为边bc的中点，
∴bf=cf=
1
2
bc，
∴cf=ce，
在菱形abcd中，ac平分∠bcd，
∴∠acb=∠acd，
在△cem和△cfm中，
∵
ce＝cf
∠acb＝∠acd
cm＝cm
，
∴△cem≌△cfm（sas），
∴me=mf，
延长ab交df的延长线于点g，
∵ab∥cd，
∴∠g=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠g，
∴am=mg，
在△cdf和△bgf中，
∵
∠g＝∠2
∠bfg＝∠cfd(对顶角相等)
bf＝cf
，
∴△cdf≌△bgf（aas），
∴gf=df，
由图形可知，gm=gf+mf，
∴am=df+me．