Question

已知点P是等腰Rt△ABC的底边BC延长线上的一点，过P作BA、AC的垂线，垂足分别为E、F。

1）设D为BC的中点，则有DE⊥DF吗？试说明。 (2) 若P为线段BC上一点，(1)的结论还成立吗？为什么？

Answer 1

DE垂直DF 1）角A=90°，A在上，B在左
因为：△ABC是等腰直角三角形
角A=90°，
PE垂直AB，PF垂直AC
所以：角PEA=角PFA=90°
故：四边形AEPF是矩形
AE=PF
在△PCF中
因为：角PFC=90°，角C=45°
所以：角FPC=45°
PF=CF=AE
同理：AD=CD
在△AED和△CFD中
因为：AD=CD，AE=CF，角EAD=角C=45°
所以：△AED和△CFD全等
角ADE=角CDF
因为：角CDF+角ADF=90°
所以：角ADE+角ADF=90°
DE垂直DF
（2）延长BA和AC，（向右）
过P分别作BA、AC延长线的垂线，垂足分别为E,F
1、PF=CF
2、角FCD=180°-45°=角EAD
AD=CD
△EAD和△FCD全等
角ADE+角EDC=90°
角FDC+角EDC=90°
DE垂直DF
很高兴为您解答，祝你学习进步！【学习宝典】团队为您答题。
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答。
请点击下面的【选为满意回答】按钮，谢谢！

Answer 2

(1)连接AD 因为等腰RT△ABC，D是底边BC的中点 所以AD=DC，∠DAE=∠DCF=135° 因为PE⊥AE，PF⊥AF，∠EAF=90° 所以四边形AFPE是矩形 所以AE=PF 因为∠PCF=∠ACB=45°，PF⊥AF 所以PF=FC 因为AE=PF 所以AE=FC 因为AD=DC，∠DAE=∠DCF=135° 所以△ADE≌△CDF 所以∠ADE=∠CDF 所以∠EDF=∠ADC=90° 所以DE⊥DF