Question

设函数f(x)=x-1/x-alnx+2f(a)(1)求f(a)的表达式（2）讨论f(x)的单调性（3）如果当x≥1是，f(x)≥f(1)

设函数f(x)=x-1/x-alnx+2f(a)
（1）求f(a)的表达式
（2）讨论f(x)的单调性
（3）如果当x≥1是，f(x)≥f(1)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

解:
(1)f(a)=a- 1/a-alna+2f(a)
所以f(a)=1/a+alna-a
(2)f(x)=x -1/x -alnx+2f(a)
f'(x)=1+1/x^2-a/x
令f'(x)>=0
(x^2-ax+1)/x^2>=0
所以即
x^2-ax+1>=0
①当△=a^2-4<=0时
-2<a<2
f(x)在定义域上单调递增
②当△=a^2-4>0时
a>2或a<-2
x^2-ax+1>=0

x∈[[-a+根号(a^2-4)]/2,正无穷)为f(x)的增区间
x∈(0,[-a+根号(a^2-4)]/2]为f(x)的减区间
(3)f(x)=x -1/x -alnx+2f(a)
f(1)=1-1-0+2f(a)=2f(a)
f(x)>=f(1)
g(x)=f(x)-f(1)=x - 1/x -alnx>=0在x>=1上恒成立
g(1)=0
1.当-2<a<2时
g(x)单调递增
所以a∈(-2,2)符合题意
2.当a>2或a<-2

a无解
所以a∈(-2,2)