Question

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE平行AC交AB于点E，PF平行AB交BC于D.交AC于点F.若点P在BC边上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB,请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在三角形内（如图二）、△ABC外（如图三）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明。若不成立，PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。

Answer 1

(1) PE+PD+PF=AB         

∵AB=AC  ∴∠B=∠C  ∵PE∥AC，PF∥AB  ∴∠BEP=∠PFC   

∴∠EPB=∠FPC   所以  ∠B=∠EPB=∠FPC=∠C  ∴EB=EP   又 PF=EA 

∴ PE+PD+PF=AB

(2)PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形AEPF是平行四边形，四边形BDPM是平行四边形，

∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，

∵AB=AC，

∴∠EMP=∠B，

∴∠EMP=∠EPM，

∴PE=EM，

∴PE+PF=AE+EM=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，

∴MB=PD．

∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

(3)：PE+PF-PD=AB．

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