Question

二重积分

∫∫ y²dxdy，设积分区域是由横轴和摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost）（0≤t≤2π）的第一拱所界的区域。

Answer 1

记摆线为y=y(x)，则
∫∫ y²dxdy = ∫[0,2πa]dx∫[0,y(x)]y²dy
= (1/3)∫[0,2πa]y(x)^3dx
= ……（按参数形式做该定积分）。

追问

以前没用过这种方法啊， ∫[0,2πa ∫[0,y(x)]，请问有依据吗？有可能是自己对于重积分还未参悟够。。。

追答

　　不是什么新方法。这是先把摆线看成
　　 y=y(x)，x∈[0,2πa]，则积分区域由摆线 y=y(x)，及直线y=0，x=0，x=2πa所围成，这里计算的第一步就是把重积分化为二次积分，……

Answer 2