Question

设函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是奇函数,且当x=-根号3/3时,f(x)取得极小值-2根号3/9

一、求函数解析式 二、若函数g(x)=mf(x)+f'(x)在x∈【0,2】上的最大值为1，求实数m的取值范围三、设A(x1，y1)、B(x2,y2)为f(x)图像上的两点，且-2＜x1＜-1＜x2＜0，点C(1,0)，试问角ACB=90°是否成立？证明你的结论

Answer 1

(1)∵是奇函数所以f(-x)=-ax^3+bx^2-cx+d=-f(x)
∴b=0,d=0
∴f '(x)=3ax^2+c f '(-√3/3)=a+c=0 f(-√3/3)=-√3/9a-√3/3c=-2√3/9
得a=-1 c=1 ∴f(x)=-x^3+x
(2)g(x)=-mx^3+mx-3x^2+1 ∴g '(x)=-3mx^2-6x+m
∴g(x)≤1在(0,2]上恒成立。
-mx^3-3x^2+mx+1≤1
m(x-x^3)≤3x^2
1° x-x^3=0 即x=0或1
成立，此时m∈R
2° x-x^3＞0 x(1-x)(1+x)＞0
0＜x＜1 m≤3x^2/(x-x^3)=3x/(1-x^2)=3/(1/x-x)
∵x为增函数，∴1/x-x为减函数
∴3x/(1-x^2)＞0
∴m≤0
3° x-x^3＜0 ∴m≥3x^2/(x-x^3)
同理3x^2/(x-x^3)为增函数，3x^2/(x-x^3)≥12/(2-8)=2
∴m≥-2
∴综上所述，m∈[-2,0)

第三题想一想再告诉你，好吗

Answer 2

一、f(x)为奇函数，则b=0，d=0 ，即f(x)=ax^3+cx
x=-√3/3时,f(x)=a*(-√3/3)^3+c*(-√3/3)=-√3/3*(a/3+c)=-2√3/9 => a/3+c=2/3
并且f(x)取极值，则f′(x)=3a*(-√3/3)^2+c=a+c=0
得出a=-1,c=1 解析式为 f(x)=-x^3+x

二、g(x)=mf(x)+f'(x)=-m*x^3+m*x-3x^2+1，
则有g(0)=<1,g(2)=-8m+2m-12+1=-6m-11=<1 => m>=-2
并且假设存在极值，则g'(x)=0时，g'(x)=-3m*x^2+m-6x=0
m=0时符合题意
m≠0时 g'(x)=-3m*(x+1/m)^2+m+3/m=0 得x=√(1/3+1/m^2)-1/m（另一解小于0 不符合） 并且x=<2 得出m>0或者-12/11>=m
将此时x代入g(x),g(x)=m*x*(1-x^2)-3x^2+1=<1 这里很难求解了

三、用向量求解最容易，假设存在
向量AC=（1-x1,-y1),向量BC=（1-x2,-y2)
垂直则有（1-x1)*（1-x2)+y1*y2=（1-x1)*（1-x2)*[1+x1*x2*（1+x1)*（1+x2)]=0而（1-x1)*（1-x2)≠0
则有1+x1*x2*（1+x1)*（1+x2)=0 即（1+x1)*（1+x2)=-1/x1*x2 只要讨论这个存在与否
首先-1<1+x1<0,0<1+x2<1，则有 -1<（1+x1)*（1+x2)<0，-1/2<-1/x1*x2<0 二者值域有交集，必定存在A，B二点。
先回答到这里，希望可以帮到你，望包涵。

追问

第一题对了，第二三题错了哦~第二题的答案是m∈【-2,0），第三题的答案是不存在……

追答

第二题的答案是m∈【-2,0），0怎么不行了
还有就是 我的思路怎么错了，只是不容易算出。
连续函数最值问题无非就是极值，两端点中最值