Question

高二数学。已知a,b,c均为实数，求证：a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2

已知a,b,c均为实数，求证：a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2. (2)若a,b,c均为实数，且a=x^2-2y+1/3,b=y^2-2z+3,c=z^2-2x+1/6.求证：a,b,c中至少有一个大于0

Answer 1

1.先证a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2等价于3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
即2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca（1）
因为（a-b)^>=0,所以a^2+b^2>=2ab
同理b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca3
式相加即证（1），故不等式a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2成立
2.反证法最简单
假设ABC全部小于等于0
那么将以上3式子相加
得到
a+b+c=x^2-2y+ 1 /3+y^2-2z+3+z^2-2x+1/6
整理这个式子
可以得到
a+b+c=(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 + 1/3……
右边一定大于0
左边由于假设了ABC都小于等于0，所以左边一定小于等于0
那么这个等式矛盾
假设不成立
所以ABC至少有一个大于0

Answer 2

1) 欲证不等式等价于 3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
即 2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc
即 (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0 显然成立，且在 a=b=c时取等号
2）反证法，若a,b,c 均小于等于0 则 a+b+c小于等于0
即 x^2-2y+1/3+y^2-2z+3+z^2-2x+1/6
=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+1/2
<=0 显然不可能
故假设不成立，所以a,b,c中至少有一个大于0

Answer 3

(1) a²+b²>=2ab, b²+c²>=2bc, c²+a²>=2ac
相加: 2a²+2b²+2c²>=2ab+2bc+2ca
3a²+3b²+3c²>=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)²
a²+b²+c²>=1/3(a+b+c)² 等号在a=b=c时成立,所以题目有点问题
(2)
a+b+c
=x²-2y+1/3+y²-2z+3+z²-2x+1/6
=x²-2x+1+y²-2y+1+z²-2z+1+1/3+1/6
=(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²+1/2>=1/2>0
所以 a,b,c中至少有一个大于0

Answer 4

(1)因为(a^2+b^2+c^2)－1/3(a+b+c)^2
＝(a^2+b^2+c^2)－1/3[(a+b）+c]^2
=(a^2+b^2+c^2)－1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+ac)
=1/3[2(a^2+b^2+c^2)-(2ab+2bc+ac)]
=1/3[(a-b)^2+(b-2)^2+(c-a)^2]>0
所以a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2

)(a^2+b^2+c^2)－1/3(a+b+c)^2

Answer 5

1). Cauchy's inequality:
(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)>(a+b+c)^2.

2). It suffices to prove a+b+c>0. In fact,
a+b+c=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+1/2>0.

This completes the proofs.