Question

如图 AB是圆o的直径 ac是弦 角bac的平分线 ad交圆o于点d de垂直ac

如图 AB是圆o的直径 ac是弦 角bac的平分线 ad交圆o于点d de垂直ac交ac的延长线于点e oe交ad于点f
1 求证de是圆o的切线
2 若圆o半径oa为5 弦AC 长是6
求de的长 请直接写出DF比AF的值

Answer 1

1.做辅助线，连接AB、OD，
∵OA、OD都是圆O的半径，
∴OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD是∠BAC的平分线
∴∠CAD=∠ BAD
∴∠CAD=∠ODA
∴AC//OD
又∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
所以DE是圆O的切线
2.做辅助线，从圆心O向弦AC做垂线，垂足为G，连接OC。
∵AC//OD，DE⊥AC，OG⊥AC
∴OG=DE
又∵OA=OC
∴AG=GC=1/2AC=3
根据勾股定理可知，OG=4
则DE=4

Answer 2

1.
连接OD

因为OA=OD =>角OAD=角ODA
AD是角平分线=> 角EAD=角DAO
所以角EAD=角ADO =>AE//OD
又DE垂直AE=>OD垂直ED =>DE是圆O切线
2.
连接BC，过O作AC垂线OG交AC于G
因为AB是直径 => AC垂直BC =>OG//BC =>三角形AOG相似于三角形ABC
=> AO/AB = OG/BC
勾股定理得
BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 6^2 =>BC=8
AO/AB = OG/BC => 5/10 = OG/8 =>OG=4
又DE垂直AE，OG垂直AE =>OG//DE => DEGO是平行四边形
=> DE=OG=4
3.
OD交BC与H
因为OH//AC，O是AB中点，所以OH=1/2AC=3
又OD=5，所以DH=5-3=2
BC垂直CE，DE垂直CE =>DECH是矩形 =>CE=DH=2
所以AE=AC+CE=6+2=8
OD//AE =>三角形ODF//三角形AEF
=> OD/AE=DF/AF =>DF/AF=5/8

Answer 3

你的题目中出现一个错误：“AC是弦角BAC的平分线”应该是“AD是弦角BAC的平分线”。那么证明如下：联接OD;根据弦角性质对应弦长相等的圆心角是圆周角的2倍，即有角BOD=2*角BAD。根据题意角BAE=2*角BAD；所以得角BAE=角BOD;根据同位角相等原理得出直线AE与直线OD平行，AE与DE垂直，就有OD与DE垂直；D在圆上，所以ED是圆O的切线。

追问

AB以连接 图上看不清

Answer 4

(1) 连接OD，OD=OA
所以，角ODA=角OAD=角EAD=角BAC/2
角AED是直角，所以 角EAD+角EDA=90度
所以，角ODA+角EDA=90度，即OD垂直DE
所以DE是圆O的切线
（2）过O点作AC的垂线段OG,垂点为G
角AED=角ODE=角OGE=90度
四连形OGED是矩形, DE=OG
OG^2=OA^2-(AC/2)^2=5^2-(6/2)^2=25-9=16
OG=4
DE=4