Question

在△ABC中，∠B=60°，圆O是△ABC的外接圆，过点A作圆O的切线，交CO的延长线于点P，CP交圆O于点D。

(1)求证；AP=AC
(2)若AC=2√3，求PC长

Answer 1

如图8，在△ABC中，∠B=60°，圆O是△ABC的外接圆，过点A作圆O的切线，交CO的延长线于点P，CP交圆O于点D。
(1)求证AP=PC
(2)若AC=3，求PC的长
1）疑似要证明：AP=AC
连AD,
因为AC弧所对的圆周角为∠B和∠ADC
所以∠ADC=∠B=60°
因为CD是直径
所以∠CAD=90
所以∠ACD=30°
因为PA是圆的切线
所以∠PAD=∠ACD=30°
因为在△ADP中，∠ADC=∠P+∠PAD
所以∠P=∠ADC-∠PAD=60-30=30
所以∠P=∠ACD
所以AP=AC
2)在直角三角形ACD中，AC=3,
由勾股定理，得CD=2√3，DA=√3
因为∠P=∠PAD=30
所以DP=DA=√3
所以PC=PD+DC=3√3
为什么PA是圆的切线
所以就∠PAD=∠ACD=30°根据公式套 怕你考试时间不够····

追问

不好意思，题目不一样的，AC=2√3

追答

你直接把3换成根号就得看·

Answer 2

1、∵∠B=60°
∴∠ADC=∠B=60°
连接OA，AD
∴∠AOC=2∠B=120°
∵OA=OC(半径）
∴∠ACP=∠OCA=∠OAC=(180°-∠AOC)/2=(180°-120°)/2=30°
∵AP是圆O的切线
∴∠PAD=∠ACP=30°
∵∠ADC=∠P+∠PAD
∴∠P=∠ADC-∠PAD=60°-30°=30°
∴∠P=∠ACP=30°
∴AP=AC
2、做AE⊥PC
∵AP=AC
∴△APC是等腰三角形
∴PE=CE=1/2PC(等腰三角形三线合一）
∵∠ACP=∠ACE=30°
∴在RT△ACE中：AE=1/2AC=√3
∴CE²=AC²-AE²=(2√3)²-(√3)²=9
CE=3
∴PC=2CE=6

Answer 3

1)连接OA,AD
∵∠B=60°

∴∠ADC=∠B=60°,OA=OD
∠POA=∠ADC=60°

∵PA与圆O相切，CD为圆O直径
∴△PAO,△ACD为Rt△
∴∠APC=∠PAC=30°
∴AP=AC
2)CD=AC/sin60°=4
OC=OA=2
OP=OA/cos60°=4
PC=OP+OC=6

Answer 4

说说思路
连接BD和AD
很容易证明角DBC=90，于是角DBA=角ACD=30=角PAD
角ADC=30
再证明角P=角ACD=30所以AP=AC
2，很容易证明角PAC=150
再求PC长