Question

洛必达法则的条件限制

Answer 1

洛必达法则的条件限制:：洛必达法则只适用于0/0和∞/∞两种情况。

①0/0型：
例：x➔0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型，因为x➔0时，分子(tanx-x)➔0，分母x-sinx➔0】=x➔0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x➔0lim(sec²x-1)/(1-cosx)=x➔0limtan²x/(1-cosx)【还是0/0型，继续用洛必达】=x➔0lim[(2tanxsec²x)/sinx]=x➔0lim(2sec³x)=2
②∞/∞型
例：x➔(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x➔(π/2)时tanx➔+∞，tan3x➔-∞，故是∞/∞型】
=x➔(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x➔(π/2)lim[(sec²x)/(3sec²3x)]=x➔(π/2)lim[(cos²3x)/3cos²x]【0/0型】=x➔(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】=x➔(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3
③0▪∞型，这种情况不能直接用洛必达，要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用。
例：x➔0+lim(xlnx)【x➔0+时，lnx➔-∞，故是0▪∞型】=x➔0+lim[(lnx)/(1/x)]【x➔0+时(1/x)➔+∞，故变成了∞/∞型】=x➔0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0+lim(-x)=0
④1^∞型，1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞▪ln1)=e^(∞▪0)
例：x➔0lim(1+mx)^(1/x)=x➔0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型，可在指数上用洛必达】=x➔0lime^[m/(1+mx)]=e^m
⑤∞°型，∞°=e^(ln∞°)=e^(0▪ln∞)
例：x➔∞limm[x^(1/x)]=x➔∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型，可在指数上用洛必达】=x➔∞lime^[(1/x)/1]=x➔∞lime^(1/x)°=e°=1
⑥0°型，0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0▪∞)
例：x➔0lim(x^x)=x➔0lime^(xlnx)=e
⑦∞－∞型，∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]
例：x➔1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x➔1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这就成了0/0型】=x➔1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x➔1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】=x➔1lim[1(lnx+1+1)]=1/2

Answer 2

零比零，两个函数去心邻域内可导。导数之比存在且分母不为零。无穷大比无穷大也可以用洛必达法则

Answer 3

１，两个函数必须在定义域内可导
２，位于分母位置的函数和他的导数都不为０