Question

函数求不定积分问题

xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积？

Answer 1

不可积。广义积分被积函数xtanx在两个端点无界，将积分区间分成(-π/2,0），（0，π/2)，只有当在这两个区间积分都收敛才称可积；而（0，π/2)=(0,1)u(1, π/2),在(1, π/2)内
xtanx>tanx，xtanx在(1, π/2)的积分大于tanx在(1, π/2)的积分，而tanx在(1, π/2)积分发散（趋于无穷大），故原广义积分发散.

追问

还是不懂，如果是这样，tanx在(-π/2,π/2)上也不可积，但为什么它有原函数-ln|cosx|+C呢？怎么得出来的？不定积分xtanx原函数不一定不存在啊，那应该是什么？

追答

开区间和闭区间有区别，原函数是否能求出与积分的存在性没直接关系.

追问

那这个函数存在原函数吗？

Answer 2

可积，因为他是连续的

追问

如果可积，原函数是什么？

追答

原函数肯定存在，但是不一定能写成简单函数的组合。写给你也没有任何意义

追问

我的意思是xtanx不可积，但不一定意味着原函数不能用初等函数的形式表示出来。
tanx在(-π/2,π/2)不可积，但为什么它有原函数-ln|cosx|+C呢？
同样的，e^(-x²)在(-∞,+∞)可积，是√π，为什么它的原函数就写不成初等函数的形式呢？
请详细说说原函数与是否可积的联系，我现在一头雾水。

追答

不可积就不存在原函数这个说法了
tanx在(-π/2,π/2)是不可积的，所以只能说在某个区间上他的原函数是xxxx，如(0,π/2)上可积
这个世界上只要可积就有原函数，但是原函数可能是个很复杂的函数，你不能因为写不出来就否定他的存在，如果所有的原函数都写得出来我们还要可积的充要条件干什么！大家都去求原函数算了

Answer 3

xtanx为偶函数，I=∫<-π/2,π/2>xtanxdx=2∫<0,π/2>xtanxdx=2I1
I1=∫<0,π/2>xtanxdx
=-∫<0,π/2>xdlncosx
=∫<0,π/2>lncosxdx-xlncosx
=I2-[xlncosx]|<0,π/2>
现在求I2：令x=π/2-2t，可得dx=-2dt
I2=∫<0,π/2>lncosxdx
=-2∫<0,π/4>lnsin2tdt
=-2∫<0,π/4>(ln2+lnsint+lncost)dt
=-π/2*ln2-2(∫<0,π/4>lnsintdt+∫<0,π/4>lncostdt)

令t=π/2-u，可得dt=-du
∫<0,π/4>lnsintdt+∫<0,π/4>lncostdt
=∫<0,π/4>lnsintdt-∫<π/2,π/4>lnsinudu
=∫<0,π/4>lnsintdt+∫<π/4,π/2>lnsinudu
=∫<0,π/4>lnsintdt+∫<π/4,0>lnsinudu+∫<0,π/2>lnsinudu
=0+I2=I2
∴有 I2=-π/2*ln2-2I2
解得 I2=-π/6*ln2
∴I1=I2-[xlncox]|<0,π/2>
=-π/6*ln2-[xlncox]|<0,π/2>
=-π/6*ln2-π/2*lncos(π/2)
∵lncos(π/2)-> -∞，∴I1->+∞
∴I1在(0,π/2)上不可积，故I在(-π/2,π/2)上也不可积