Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+x^3-x^2-ax 1.若x=2/3为y=f(x)的极值点，求实数a的值

已知函数f(x)=ln(ax+1)+x^3-x^2-ax
1.若x=2/3为y=f(x)的极值点，求实数a的值
2.若y=f(x)在[1,+∞)为增函数,求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=ln(ax+1)+x^3-x^2-ax
1.若x=2/3为y=f(x)的极值点，求实数a的值
2.若y=f(x)在[1,+∞)为增函数,求实数a的取值范围
1、由f(x)=ln(ax+1)+x^3-x^2-ax知ax+1>0 x>-1/a
因函数y=ln(ax+1)是增函数，而原函数在x=2/3时有极值，故y=x^3-x^2-ax在点x=2/3处有极值，对此函数求导得：y'=3x^2-2x-a故x=2/3时，y'=0 3*(2/3)^2-2*3/2-a=0 4/3-4/3-a=0 a=0
2、若y=f(x)在[1,+∞)为增函数，而函数y=ln(ax+1)是增函数，故y=x^3-x^2-ax是增函数，导数y'>=0，即3x^2-2x-a>=0(x>=1时）设y=3x^2-2x-a，导数y'=6x-2>0(x>=1时)故y在x>=1时是增函数，最小值在x=1处，此时y=3-2-a>=0 a<=1另ax+1>0 在x>=1时恒成立，故a>0综合有：0<a<=1