Question

一道高中三角函数题，求解

已知函数f(x)=2倍根号3sinaxcosx+2cos的平方ax-1(a大于0)图像上的一个最低点为A,离A最近的两个最高点分别为B,C,向量ABx向量AC=16-16/派的平方，（1）求a的值（2）求f(x)的单调递增区间
是2倍根号3sinaxcosax

Answer 1

已知函数f(x)=2(√3)sinaxcosax+2cos²ax-1(a>0)图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B，C，向量AB•向量AC=16-π²/16。(1)求a的值；(2)求f(x)的单调递增区间。
解：(1) f(x)=(√3)sin(2ax)+cos(2ax)=2[(√3/2)sin(2ax)+(1/2)cos(2ax)]
=2[sin(2ax)cos(π/6)+cos(2ax)sin(π/6)]=2sin(2ax+π/6)，周期T=π/a；
当2ax+π/6=3π/2，即x=(3π/2-π/6)/(2a)=2π/(3a)时f(x)=-2，故得一个最低点A(2π/3a，-2)；
两个相邻最高点与A点的水平距离都是T/2=π/(2a)。
故左邻的最高点B(2π/3a-π/2a，2)=(π/6a，2)；右邻的最高点C(2π/3a+π/2a，2)=(7π/6a，2)；
AB=(-π/2a，4)；AC=(π/2a，4)；AB•AC=-π²/(4a²)+16=16-π²/16，即有a²=4，故得a=2.
(2)。f(x)=2sin(4x+π/6)；由-π/2+2kπ≦4x+π/6≦π/2+2kπ，即-2π/3+2kπ≦4x≦π/3+2kπ
得单增区间为-π/6+(k/2)π≦x≦π/12+(k/2)π；k∈Z.